Aplicaciones

Ejercicios de Aplicación

A continuación, presentamos ejemplos de situaciones que se resuelven con sistemas de ecuaciones, con el objetivo de que los alumnos se inicien en el lenguaje algebraico, traduzcan las condiciones planteadas en las historias en forma de ecuaciones, decidiendo primero las incógnitas a utilizar.

• Nahuel tiene cinco años y tiene 3 gatos muy diferentes. Si pesa juntos el primero y el segundo de sus gatos, pesan 7 kg. Si pesa juntos el segundo y el tercer gato pesa 8 kg y cuando pesa el primer gato con el tercero pesan 11 kg. ¿Cuánto pesan cada gato de Nahuel?

Llamamos x al peso del primer gato, y al del segundo y, z al peso del tercero. Traduciendo las condiciones que nos dan tenemos 3 ecuaciones:

x + y = 7
y + z = 8
x + z = 11

Si sumamos las 3 ecuaciones obtenemos: 2(x + y + z) = 26

x + y + z = 13
x + y + z =13
x + y =7

Entonces: z = 6kg; x = 5kg; y = 2kg.

• Por estos cinco regalos, Ana ha pagado 21 euros. Si pago 6 euros por los regalos A y B, 10 euros por los B y C, 7 euros por C y D y 9 euros por D y E, ¿cuántos costaron cada regalo?

Llamamos por A, B, C, D y E los precios de cada uno de los regalos. Traduciendo las condiciones, tendremos 5 ecuaciones:

A + B + C + D + E = 21
A + B = 6
B + C = 10
C + D = 7
D + E = 9

• ¡¡¡Acaba de aterrizar una nave espacial llena de marcianos!!!! Los hay de dos tipos, los amarillos que tienen como nosotros dos piernas, y los verdes que tienen tres. En la nave parece que venían 45 marcianos y en total hemos contado 113 piernas. ¿Cuántos marcianos de cada tipo nos están invadiendo?

Llamamos x al número de extraterrestres con dos piernas y a los que tienen tres piernas. Traduciendo las condiciones del enunciado:

x + y = 45
2x + 3y = 113

• El rey está colocando sus 37 piezas de oro en tres pilas. La segunda pila tiene 3 piezas menos que la primera y la tercera las 2/3 partes que la primera. ¿Cuántas piezas de oro hay en cada pila?

Llamamos x al número de monedas de oro de la primera pila, y al de la segunda e z al de la tercera. Traduciendo las condiciones:

Bibliografía:

García Azcarate a (2016) pequeñas historias con sistemas de ecuación-pasatiempos y juegos en clase de matemáticas. Tomado de: ejemplosprofesorado.pdf

Inecuaciones

Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x) <= g(x), f(x) > g(x) o f(x)>=g(x).

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

 5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
       2x < -14

         x < -7

Todos los valores de x menores que -7 satisfacen la inecuación.

Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero negativo una inecuación tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.

  3x > -2

-9x < 6

    x < -2/3

Sistemas de Inecuaciones de 1er grado con una Incógnita

Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones los intervalos comunes de las soluciones.

• 5x + 6 < 3x - 8
• 3x < -2

La solución de la primera ecuación es:

5x - 3x < -8 - 6
       2x < -14
         x < -7

La solución de la segunda ecuación es:

3x < -2
 x < -2/3

La solución del sistema sería x < -7.

Inecuaciones de 2do grado

Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.

x^2 - 5x + 6 > 0

Las soluciones de la ecuación x^2 - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2.

Por lo tanto:  x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde menos infinito hasta 2, desde
2 hasta 3 y desde 3 hasta infinito .

• x - 2 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
• x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.
• x - 2 es positivo para los valores entre 3 e infinito.
• x - 3 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
• x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.
• x - 3 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:

x^2 -5x + 6 es positivo para los valores entre menos infinito y 2.
x^2 - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x^2 - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

Inecuaciones de grado superior a dos

Se descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.

Inecuaciones Fraccionarias

Son las inecuaciones en las que tenemos la incógnita en el denominador.

Se pasan todos los términos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a común denominador.

Después se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones que anulan el denominador no valen.

Inecuaciones con Valor Absoluto

Se resuelven convirtiendo la función valor absoluto en dos inecuaciones

|x - 3| > 3

Con lleva que -3>(x-3)>3, luego

x-3 >3
   -3>x-3

Son los puntos mayores que 6 y menores que 0.

Bibliografía:

s.n. (s.f.). Tomado de:

http://departamento.us.es/dma1euita/TMRP/inecuaciones.htm